Алгори́тм Евкли́да — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел (или общей меры двух отрезков). Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал». В самом простом случае алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары.
Первое описание алгоритма находится в «Началах» Евклида (около 300 лет до н. э.), что делает его одним из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время. Оригинальный алгоритм был предложен только для натуральных чисел и геометрических длин (вещественных чисел). Однако в XIX веке он был обобщён на другие типы чисел, такие как целые числа Гаусса и полиномы от одной переменной. Это привело к появлению в современной общей алгебре такого понятия, как евклидово кольцо. Позже алгоритм Евклида также был обобщён на другие математические структуры, такие как узлы и многомерные полиномы.
Для данного алгоритма существует множество теоретических и практических применений. В частности, он является основой для криптографического алгоритма с открытым ключом RSA, широко распространённого в электронной коммерции. Также алгоритм используется при решении линейных диофантовых уравнений, при построении непрерывных дробей, в методе Штурма. Алгоритм Евклида является основным инструментом для доказательства теорем в современной теории чисел, например таких как теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов и основная теорема арифметики.